醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué):第三節(jié)　正態(tài)性檢驗(yàn)與兩方差的齊性檢驗(yàn)

檢驗(yàn)兩個(gè)樣本均數(shù)相差的顯著性時(shí)，我們先有假定：第一個(gè)樣本系從均數(shù)為μ₁、方差為σ₁²的正態(tài)總體中隨機(jī)取出，第二個(gè)樣本取自另一個(gè)類(lèi)似的總體，相應(yīng)的總體參數(shù)為μ₂與σ₂²，兩個(gè)總體的方差應(yīng)相等即σ₁²=σ₂²，然后才可用上述方法進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果資料呈顯著偏態(tài)，或兩組方差相差懸殊，就要考慮用第十章非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法處理，或者通過(guò)變量代換，使上述條件得到滿(mǎn)足。那么，怎樣知道手頭的樣本資料是否服從正態(tài)分布及兩組方差是否相差顯著呢？要對(duì)手頭資料作正態(tài)檢驗(yàn)及方差齊性檢驗(yàn)。下面分別用實(shí)例介紹常用的正態(tài)性檢驗(yàn)和兩方差齊性檢驗(yàn)的方法。

一、正態(tài)性檢驗(yàn)

有些統(tǒng)計(jì)方法只適用于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料，如用均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差描述資料的集中或離散情況，用正態(tài)分布法確定正常值范圍及用t檢驗(yàn)兩均數(shù)間相差是否顯著等，因此在用這些方法前，需考慮進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。

正態(tài)分布的特征是對(duì)稱(chēng)和正態(tài)峰。分布對(duì)稱(chēng)時(shí)眾數(shù)和均數(shù)密合，若均數(shù)-眾數(shù)>0，稱(chēng)正偏態(tài)。因?yàn)橛猩贁?shù)變量值很大，使曲線(xiàn)右側(cè)尾部拖得很長(zhǎng)，故又稱(chēng)右偏態(tài)；若均數(shù)-眾數(shù)<0稱(chēng)負(fù)偏態(tài)。因?yàn)橛猩贁?shù)變量值很小，使曲線(xiàn)左側(cè)尾部拖得很長(zhǎng)，故又稱(chēng)左偏態(tài)，見(jiàn)圖7.1(a)。

正態(tài)曲線(xiàn)的峰度叫正態(tài)峰，見(jiàn)圖7.1(b)中的虛線(xiàn)，離均數(shù)近的或很遠(yuǎn)的變量值都較正態(tài)峰的多的稱(chēng)尖峭峰，離均數(shù)近或很遠(yuǎn)變量值都較正態(tài)峰的少的稱(chēng)平闊峰。

圖7.1　頻數(shù)分布的偏度和峰度

正態(tài)性檢驗(yàn)的方法有兩類(lèi)。一類(lèi)對(duì)偏度、峰度只用一個(gè)指標(biāo)綜合檢驗(yàn)，另一類(lèi)是對(duì)兩者各用一個(gè)指標(biāo)檢驗(yàn)，前者有W法、D法、正態(tài)概率紙法等，后者有動(dòng)差法亦稱(chēng)矩法�，F(xiàn)僅將W法與動(dòng)差法分述于下；

1．W法　此法宜用于小樣本資料的正態(tài)性檢驗(yàn)，尤其是n≤50時(shí)，檢驗(yàn)步驟如下；

（1)將n個(gè)變量值X_i從小至大排隊(duì)編秩。

X₁<X₂<……<XN<p

見(jiàn)表7.5第（1)欄，表中第（2)、第（3)欄是變量值，第（2)欄由上而下從小至大排列，第（3)欄由下而上從小至大排列。第（4)欄是第（3)欄與第（2)欄之差。

（2)由附表5按n查出a_in系數(shù)列入表7.5第（5)欄，由于當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)于中位數(shù)秩次的a_in為0，所以中位數(shù)只列出，不參加計(jì)算。第（6)欄是第（5)欄與第（4)欄的乘積。

（3)按式（7.8)計(jì)算W值

（7.8)

式中分子的∑，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，為 的縮寫(xiě)，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)為 的縮寫(xiě)，表7.5

第（6)欄的合計(jì)平方后即為分子。分母按原始資料計(jì)算。

（4)查附表6得P值，作出推斷結(jié)論，按n查得W（n，α)，α是檢驗(yàn)前指定的檢驗(yàn)水準(zhǔn)，若W>W（n，α)則在α水準(zhǔn)上按受H₀，資料來(lái)自正態(tài)分布總體，或服從正態(tài)分布；若W≤W（n，α)，則在α水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H₁，資料非正態(tài)。

例7.8　測(cè)得20例40—49歲健康人右側(cè)腓總神經(jīng)的傳導(dǎo)速度（m/sec)如表7.5第（2)、第（3)欄，試檢驗(yàn)此資料是否服從正態(tài)分布。

H₀：總體服從正態(tài)分布

H₁：總體為非正態(tài)分布

α=0.05

計(jì)算表7.5各欄。

表7.5　W法正態(tài)性檢驗(yàn)計(jì)算表

∑X_i=1004　　∑X_i²=50756.16　　∑(X-x)²=355.36

代入式（7.8)

W=（18.2240)²/355.36=0.9347

查附表6，n=20，α=0.05，W_{（20，0.05)}=0.905

W>W_{（20，0.05)}　P>0.1，在α=0.05水準(zhǔn)上接受H₀，該資料服從正態(tài)分布。

2．動(dòng)差法　又稱(chēng)矩法。既能用于小樣本資料，亦可用于大樣本資料的正態(tài)性檢驗(yàn)。本法運(yùn)用數(shù)學(xué)上三級(jí)動(dòng)差和四組動(dòng)差分別組成偏度系數(shù)與峰度系數(shù)，然后檢驗(yàn)資料中否服從正態(tài)分布。當(dāng)頻數(shù)分布為正態(tài)時(shí)，偏度系數(shù)與峰度系數(shù)分別等于0，但從正態(tài)分布總體中抽出的隨機(jī)樣本，由于存在抽樣誤差，其樣本偏度系數(shù)g₁與樣本峰度系數(shù)g₂不一定為0，為此，需檢驗(yàn)g₁、g₂與0的相差是否有顯著性。其檢驗(yàn)假設(shè)為①偏度系數(shù)等于O，即頻數(shù)分布對(duì)稱(chēng)；②峰度系數(shù)等于0，即為正態(tài)峰。

偏度系數(shù)g₁、峰度系數(shù)g₂的公式見(jiàn)式quanxiangyun.cn（7.9)與（7.11)。當(dāng)用頻數(shù)表資料計(jì)算時(shí)可用式（7.10)與式（7.12)，式中n為例數(shù)，f為頻數(shù)。

（7.10)

（7.11)

（7.12)

g₁、g₂的抽樣誤差分別為S_g1與S_g2，見(jiàn)式（7.13)與式（7.14)

(7.13)

(7.14)

假設(shè)檢驗(yàn)用u檢驗(yàn)，其公式為

u₁=g₁/S_g1　　　　　　　　(7.15)

u₂=g₂/S_g2　　　　　　　　(7.16)

u的顯著性界限為

∣u∣<1.96P>0.05在α=0.05的水準(zhǔn)上接受H₀。

1.96≤∣u∣<2.580.05≥P>0.01在α=0.05的水準(zhǔn)上拒絕H₀。

∣u∣≥2.58P≤0.01在α=0.01的水準(zhǔn)上拒絕H₀。

例7.9　用動(dòng)差法檢驗(yàn)例7.8的資料是否服從正態(tài)分布。

1．H₀：頻數(shù)分布對(duì)稱(chēng)，H₁：頻數(shù)分布不對(duì)稱(chēng)。

2．H₀：頻數(shù)分布為正態(tài)峰，H₁：頻數(shù)分布不是正態(tài)峰。

α=0.05

∑（X-x )²=355.36，∑（X-x )³=-1032.45

∑（X-x )⁴=20150.4316　n=20

u₂=0.6221/0.9924=0.627　P&gquanxiangyun.cn/pharm/t;0.20

在α=0.05的水準(zhǔn)上接受H₀，頻數(shù)分布對(duì)稱(chēng)（P>0.05)，并為正態(tài)峰（P>0.20)。因此可認(rèn)為該資料服從正態(tài)分布。

二、兩方差的齊性檢驗(yàn)

方差齊性檢驗(yàn)的方法是以?xún)煞讲钪休^大的方差為分子，較小的方差為分母求一比值（稱(chēng)為F值)，然后將求得的F值與臨界值比較，看相差是否顯著，現(xiàn)舉一例說(shuō)明。

例7.10　某單位測(cè)定了蓄電池廠(chǎng)工人32號(hào)，得尿氨基乙酰丙酸（mg/l)的平均含量為7.06，方差為42.3072，又測(cè)定了化工廠(chǎng)工人6名，得平均含量為3.48，方差為0.9047，試比較兩方差的相差是否有顯著意義？

檢驗(yàn)假設(shè)H₀：σ₁²=σ₂²，H₁：σ₁²≠σ₂²α=0.05

定方差較大的一組為第1組，較小者為第2組，求出F值，公式為

F=S₁²/S₂²,S₁>S₂　　　（公式7.17)

本例F=42.3072/0.9047=46.76

現(xiàn)將F值與附表7中的F_{.05（ν1,ν2)}比較。該表上端數(shù)值是較大均方（即方差)的自由度，用v1表示，左側(cè)的數(shù)值是較小均方的自由度，用ν₂表示。本例ν₁=n₁-1=32-1=31(表內(nèi)ν₁縱行沒(méi)有31，可查鄰近的數(shù)值30)，ν₂=n₂-1=6-1=5,查得F_.05（30,5)=6.23,本例F=46.76>F_.05(30,5),P<0.05,故在α=0.05水準(zhǔn)處拒絕H₀，接受H₁。兩方差的差別顯著。