醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué):第三節(jié)　秩和檢驗(yàn)

用秩號代替原始數(shù)據(jù)后，所得某些秩號之和，稱為秩和，用秩和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)即為秩和檢驗(yàn)。其檢驗(yàn)假設(shè)在兩組比較（成對或不成對)時，H₀：F（X₁)=F（X₂)，即兩總體的分布函數(shù)相等，備擇假設(shè)H₁：F（X₁)≠F（X₂)。本法由于部份地考慮了數(shù)據(jù)的大小，故檢驗(yàn)效力較符號檢驗(yàn)大大提高。至于其方法、步驟，不論是查表法或計(jì)算法、也都相當(dāng)簡便，現(xiàn)舉例說明如下。

一、成對資料的比較

此法由Wilcoxon氏首次提出，故又稱Wilcoxon氏法。

處理時可用查表法或計(jì)算法，今以例10.3分別說明如下。

查表法步驟：

1．排隊(duì)，將差數(shù)按絕對值從小至大排列并標(biāo)明原來的正負(fù)號，見表10.3第（5)欄，排隊(duì)后與原豚鼠號已無對應(yīng)關(guān)系。

2．編秩號，成對資料編秩號時較為復(fù)雜，要注意三點(diǎn)：

（1)按差數(shù)的絕對值自小至大排秩號，但排好后秩號要保持原差數(shù)的正負(fù)號；

（2)差數(shù)絕對值相等時，要以平均秩號表示，如表10.3中差數(shù)絕對值為4者共三人，其秩號依次應(yīng)為2、3、4，現(xiàn)皆取平均秩號3；

（3)差數(shù)為0時，其秩號要分為正、負(fù)各半，若有一個0，因其絕對值最小，故秩號為1，分為0.5與-0.5，若有兩個0，則第二個0的秩號為2，分為1與-1等等。

3．求秩號之和即將正、負(fù)秩號分別相加，本例得正秩號之和為68，負(fù)秩號之和為10，正負(fù)秩號絕對值之和應(yīng)等于1/2n(n+1)，可用以核對，如本例68+10=12/1（12+1)=78，證明秩號計(jì)算正確。

4.以較小一個秩號之和（R)，查附表12進(jìn)行判斷，該表左側(cè)為對子數(shù)，表身內(nèi)部是較小秩號和，與上端縱標(biāo)目之概率0.05,0.01相對應(yīng)，其判斷標(biāo)準(zhǔn)是

R>R_0.05時P>0.05

R_0.05≥R>R_0.01時0.05≥P>0.01

P≤R_0.01時　P≤0.01

例10.3　請以表10.1資料用秩和檢驗(yàn)處理之。

表10.3　豚鼠給藥前后灌流滴數(shù)及其秩號

68　R=10

將表中10.1中用藥前后的數(shù)據(jù)求出差數(shù)，并按差數(shù)絕對值排隊(duì)，結(jié)果見表10.3第（5)欄。再編秩號，為計(jì)算方便，正、負(fù)秩號分列兩欄，見表10.3第（6)、（7)欄。

上例，n=12,∣R∣=10，查附表12得

R_0.05=14R_0.01=7

今R_0.05>R>R_0.01，故0.05>P>0.01，在概率0.05水平上拒絕H₀，接受H₁，即用藥前后的相差是顯著的，給藥后每分鐘灌流滴數(shù)比用藥前增多了。

附表12中只列有n≤25時的臨界值。當(dāng)n值較大時亦可采用計(jì)算法。

計(jì)算法步驟：

在計(jì)算法時，對差數(shù)的排隊(duì)，編秩號及求秩號之和同查表法，不同的是求得秩號之和以后的算，所用公式是：

u_0.05=1.96u_0.01=2.58　(10.5)

式中n為原始資料中數(shù)據(jù)的對子數(shù)，R為正秩號之和或負(fù)秩號之和，為計(jì)算方便，通常取絕對值較小的秩號之和為r 。

本例，n=12，R=-10，代入得：

U_0.05<U<_0.01，故0.05>P>0.01，在α=0.05水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H₁，結(jié)論與查表法相同。

據(jù)研究，當(dāng)n大于10時，上式算得的u近似正態(tài)分布，故計(jì)算法只用于n值較大時。

因本例資料接近正態(tài)分布，故曾用t檢驗(yàn)的個別比較方法處理過，結(jié)果是：t=2.653　0.05>P>0.01，與秩和檢驗(yàn)結(jié)論相同，但與符號檢驗(yàn)結(jié)論不同（^χ2=2.083,P>0.05)，說明符號檢驗(yàn)的檢驗(yàn)效率比秩和與t檢驗(yàn)都要低，比較粗糙，而秩和檢驗(yàn)的效率與t檢驗(yàn)較接近。

二、兩組資料的比較

此法又稱為wilcoxon氏兩樣本法。

處理時也可用查表法或計(jì)算法，今以例10.4分別說明之。

查表法步驟：

1．各自排隊(duì)，統(tǒng)一編秩號，即將兩組數(shù)據(jù)分別從小到大排列，但編秩號時要兩組統(tǒng)一進(jìn)行，凡分屬于兩組的相等數(shù)據(jù)用平均秩號，如本例0.042共三個，取平均序號皆為8。

2．令較小樣本秩號之和為r ，例數(shù)為n_１。

3．計(jì)算R＇，公式為：

R＇=n₁(n₁+n₂+1)-r　(10.6)

R＇是同一個樣本資料，當(dāng)秩號倒排（即由大至小)時較小樣本秩號之和。

4．以R和R＇兩秩號之和中較小者與附表13中R的臨界值比較，以作出判斷，其標(biāo)準(zhǔn)仍是：

R>R_0.05時　P>0.05

R_0.05≥R>R_0.01時　0.05≥P>0.01

P≤R_0.01時　P≤0.01

例10.4　請以表10.2資料用本法處理之。

表10.4　九名健康人與八名鉛作業(yè)工人的尿鉛值（mg/L)

先將本表10.2中兩組數(shù)據(jù)各自排隊(duì)并統(tǒng)一編秩號，結(jié)果見表10.4。

較小樣本為鉛作業(yè)工人組，n₁=8，R=99，代入式（10.6)

R＇=8（8+9+1)-99=45

R與R＇兩者中以R＇較小，故以P＇值與附表13數(shù)值比較，得R_0.05=51，R_0.01=45；今R＇=R_0.01，故P=0.01，在α=0.05水平上拒絕H₀，接受H₁，差別顯著，故鉛作業(yè)工人尿鉛值比健康人高。

計(jì)算法步驟：

兩組資料比較時，也可用計(jì)算法。用計(jì)算法時，對兩組數(shù)據(jù)各自排隊(duì)、統(tǒng)一編秩號同查表法，不同的是求得秩號之和以后計(jì)算，公式是：

u_0.05=1.96u_0.01=2.58　(10.7)

為便于計(jì)算和前后符號一致，n₁作為較小樣本例數(shù)，R為較小樣本的秩和，n₂則為較大樣本的例數(shù)。

本例n₁=8，R=99，n₂=9代入公式得：

今∣u∣>u_0.01,故P<0.01，在α=0.01水準(zhǔn)上拒絕H₀接受H₁，其結(jié)論同查表法，

據(jù)研究，當(dāng)n₁、n₂都大于8時，算得的u近于正態(tài)分布，若例數(shù)太少，則以查表法更為精確。

本例如用t檢驗(yàn)的團(tuán)體比較處理，則t=3.169,P<0.01，二者結(jié)論一致，但與符號檢驗(yàn)結(jié)論不同（χ²=2.930,P>0.05)同樣說明符號檢驗(yàn)較粗糙，檢驗(yàn)效率低，而秩和檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)的結(jié)論較近。

三、兩組等級資料的比較

等級資料又稱為半計(jì)量資料，當(dāng)兩組等級資料比較時，用秩和檢驗(yàn)來比較其相差是否顯著比用χ²檢驗(yàn)要恰當(dāng)。兩組等級資料，通常例數(shù)都較多，故一般都用計(jì)算法，其步驟與兩組資料的秩和檢驗(yàn)相似，不同的是要求各等級的平均秩號，為此，先要求得各等級的秩號范圍。今舉例10.5說明之。

1．求各等級的平均秩號。為此，先要求出各等級的秩號范圍，如等級“-”共18+8=26例，共秩號范圍自1～26。要注意的是各等級的秩號范圍必須緊相聯(lián)接。最后一組秩號范圍的上限一定等于兩組例數(shù)之和。求得各等級秩號范圍后，再求其下限和上限的平均，即可算得平均秩號，如等級“一”的平均秩號為（1+26)/2=13.5。余類推。

2．求出R及其n₁，為計(jì)算方便，把例數(shù)少的正常人組的秩號之和作為R其例數(shù)為n₁得R=308，n₁=20，n₁=32

3．代入式（10.7)得u值，即可作結(jié)論。

例10.5，今有20名正常人和32名鉛作業(yè)工人尿棕色素定性檢查結(jié)果如下表10.5，試問其相差是否顯著？

表10.5　20名正常人和32名鉛作業(yè)工人尿棕色素定性檢查結(jié)果

n₁=20　n₂=32　R=308

代入式（10.7)

u_0.01=2.58，今u>u_0.01，故P<0.01，在α=0.01水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H₁。兩組相差顯著，鉛作業(yè)工人尿棕色素比正常人為高。

四、多組資料的比較

多組資料的比較也是從排秩號開始，但不是直接用秩和進(jìn)行檢驗(yàn)，有的書籍稱之為秩檢驗(yàn)（rank test)，以示與秩和檢驗(yàn)有別，其檢驗(yàn)假設(shè)也較復(fù)雜：在處理完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的資料時，H₀：F（X_１)＝F（X₂)=F（X₃)=……，即比較的各樣本所對應(yīng)的各總體的分布函數(shù)相等，H₁：各總體的分布函數(shù)不相等或不全相等；在處理隨機(jī)單位組設(shè)計(jì)的資料時，H₀：P（χ_ij=r)=1/n，即內(nèi)組各秩號r之概率相等，都是1/n(r=1，2，……，n)而H₁為：P=（χ_ij=r)≠1/n。

因不同實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)所得資料的處理也有別，故下面分別舉例說明之。

（一)完quanxiangyun.cn/yishi/全隨機(jī)設(shè)計(jì)所得資料的比較

用的方法是單因素多組秩檢驗(yàn)，稱為Kruskal-Wallis氏法，或H檢驗(yàn)。其計(jì)算步驟如下。

1.各自排隊(duì)，統(tǒng)一編秩號。即將各組數(shù)據(jù)在本組內(nèi)從小到大排隊(duì)，見表10.6各含量欄，再將各組數(shù)值一起考慮編出統(tǒng)一秩號，見表10.6各“秩號”欄，分屬不同組的相同數(shù)值用平均秩號；
2.求各組秩號之和R₁以及各組數(shù)n_1：
3.代入下式計(jì)算H值：

（10.8)

式中N為各組例數(shù)之和，Ri和ni為各組的秩號之和以及例數(shù)：

4．查表作結(jié)論

當(dāng)比較的組數(shù)多于三組，或組數(shù)雖只有三組但每組例數(shù)大于5時，H值的分布近于自由度等于組數(shù)-1的χ²分布，故可用對應(yīng)的χ²值作界值。當(dāng)三組比較時每組例數(shù)均不超過5時，H值與χ²值有較大偏離，此時可查附表14，直接查得H_0.05和H_0.01。

例10.6　雄鼠20只隨機(jī)分為四組，第1、2組在皮膚上涂用放射性錫（S_n¹¹³)標(biāo)記的三乙基硫酸錫，涂后將皮膚暴露于空氣中；第3、4組涂藥后用密閉小玻璃管套使皮膚與外界空氣隔開，三小時后殺死，測肝中放射物，結(jié)果如表10.6，試比較各組含量間有無顯著相差？

表10.6　白鼠皮膚涂藥后，肝中放射性S_n¹¹³的含量

各組資料各自排隊(duì)，統(tǒng)一編秩號，以及求各組的秩號之和R_i和例數(shù)n_i見表10.6

代入quanxiangyun.cn/shiti/式（10.8)得

本例組數(shù)為4（>3)，查χ²值表，ν=4-1=3，得χ²_0.05,3=7.81，χ²_0.01,3=11.34，今H>χ²_0.01,3，故P<0.01，在α=0.01水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H₁，即各組肝中放射性Sn¹¹³含量差別顯著。

（二)隨機(jī)單位組設(shè)計(jì)所得資料的比較

用的方法是雙因素多組秩檢驗(yàn)，即Friedman氏法。

處理這種資料時可分成兩步，對兩個因素分別進(jìn)行檢驗(yàn)�，F(xiàn)用例10.7說明其計(jì)算步驟：

先比較四種防護(hù)服對脈搏的影響

1．將穿四種防護(hù)服的每一受試者的脈搏數(shù)從小到大編秩號，當(dāng)數(shù)值相等時用平均秩號，見表10.7各秩號欄。

2．求各防護(hù)服組秩號之和Ri

3．代入式10.9求H值

（10.9)

式中t（treatment)為處理組數(shù)，b(block)為單位組數(shù)。

4．查表作結(jié)論

當(dāng)t>4或t=4且b>5或t=3且b>9時，H值的分布近于自由度ν=t-1時的χ²分布，故可查相應(yīng)的χ²值與H值比較作出判斷：如t、b不能滿足上述條件，則所算得的H值與χ²分布有較大偏離，需查附表15作判斷。

例10.7　受試者5人，每人穿四種不同的防護(hù)服時的脈搏數(shù)如表10.7，問四種防護(hù)服對脈搏的影響有無顯著差別？又五個受試者的脈搏數(shù)有無顯著差別？

表10.7　比較穿四種防護(hù)服時的脈搏數(shù)（次/分)

t=4b=5

排隊(duì)、編秩號、求各比較組的R_i見表10.7所示。

將表10.7中各數(shù)代入式10.9，得

本例t=4，b=5查附表15，得H_0.05=7.80，今H>H_0.05，故P>0.05，在α=0.05水準(zhǔn)上接受H₀，無顯著差別，故四種防護(hù)服對脈搏的影響無顯著差別。

再比較五名受試者的脈搏數(shù)：

將數(shù)據(jù)列出（同表10.7)，但秩號是按每種防護(hù)服中受試者脈搏的數(shù)值從小到大編定，然后求出各受試者秩號之和R_１，詳細(xì)見表10.8

表10.8　比較五名受試者的脈搏數(shù)

t=5b=4

將表10.8 所得各數(shù)據(jù)代入式10.9得

此處t>4,故查ν=5-1=4時的χ²值表，得：χ²_0.05,4=9.49，χ²_0.01,4=13.28，今χ²_0.05,4<H<X²_0.01,4，故0.05>P>0.01，在α=0.05水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H_1，差別顯著；即五名受試者脈搏數(shù)相差顯著，1號受試者最高，5號受試者最低。

五、多組資料間的兩兩比較

當(dāng)多組間的差別顯著時，則需進(jìn)一步判斷那些組之間的差別有顯著性，這個問題的解決方法與第八章第二節(jié)中的多個均數(shù)間的兩兩比較很相似，在例10.6四個實(shí)驗(yàn)組涂放射性錫的例子中，結(jié)果為H>χ²_0.01,3，P<0.01，現(xiàn)以此為例，進(jìn)一步作各組兩兩間比較，步驟如下：

1．將各組秩和從大到小依次排隊(duì)，并求得兩兩間的相差，見表10.9

2．計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算公式是：

（10.10)

式中σ為任意兩個秩和之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，n為各組例數(shù)，a為處理數(shù)，此式要求各組例數(shù)相等，

3．查q值表定界限作結(jié)論

仍查方差分析時用的q值表，v→∝

各q值須與處理數(shù)相同的標(biāo)準(zhǔn)誤相乘，如處理數(shù)為2的q值要乘以處理數(shù)為2時的標(biāo)準(zhǔn)誤，2.77×6.77=18.75,3.64×6.77=24.64等，余類推。

例10.6資料兩兩間比較如下：

表10.9　每兩組秩和之間的相差及其顯著性

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：n=5，用式10.10

查q值表，得：

兩兩比較后的結(jié)論見表10.9所示，結(jié)合起來看，結(jié)論是：涂濕藥的比涂干藥肝中放射性Sn¹¹³含量要高，涂濕藥中，密閉的比敞開的含量高。